DOI: https://doi.org/10.11649/cs.1310

A potential theory approach to an algorithm of conceptual space partitioning

Roman Urban, Magdalena Grzelińska

Abstract


A potential theory approach to an algorithm of conceptual space partitioning

This paper proposes a new classification algorithm for the partitioning of a conceptual space. All the algorithms which have been used until now have mostly been based on the theory of Voronoi diagrams. This paper proposes an approach based on potential theory, with the criteria for measuring similarities between objects in the conceptual space being based on the Newtonian potential function. The notion of a fuzzy prototype, which generalizes the previous definition of a prototype, is introduced. Furthermore, the necessary conditions that a natural concept must meet are discussed. Instead of convexity, as proposed by Gärdenfors, the notion of geodesically convex sets is used. Thus, if a concept corresponds to a set which is geodesically convex, it is a natural concept. This definition applies, for example, if the conceptual space is an Euclidean space. As a by-product of the construction of the algorithm, an extension of the conceptual space to d-dimensional Riemannian manifolds is obtained.

 

Algorytm podziału przestrzeni konceptualnych przy użyciu teorii potencjału

W niniejszej pracy zaproponowany został nowy algorytm podziału przestrzeni konceptualnej. Dotąd podział taki zazwyczaj wykorzystywał teorię diagramów Voronoi. Nasze podejście do problemu oparte jest na teorii potencjału Miara podobieństwa pomiędzy elementami przestrzeni konceptualnej bazuje na Newtonowskiej funkcji potencjału. Definiujemy pojęcie rozmytego prototypu, który uogólnia dotychczas stosowane definicje prototypu. Ponadto zajmujemy się warunkiem koniecznym, który musi spełniać naturalny koncept. Zamiast wypukłości zaproponowanej przez Gärdenforsa, rozważamy linie geodezyjne w obszarze odpowiadającym danemu konceptowi naturalnemu, otrzymując warunek mówiący, że koncept jest konceptem naturalnym, jeżeli zbiór odpowiadający temu konceptowi jest geodezyjnie wypukły. Ta definicja pokrywa się w przypadku, gdy przestrzenią konceptualną jest przestrzeń euklidesowa. Jako produkt uboczny konstrukcji naszego algorytmu rozważamy dość ogólne przestrzenie konceptualne będące d-wymiarowymi rozmaitościami Reimanna.


Keywords


conceptual space; concept; natural concept; potential theory; Riemannian manifolds; geodesics; geodesically convex sets

Full Text:

PDF (in English)

References


Carmo, M. P. do. (1992). Riemannian geometry. (F. Flaherty, Trans.). Boston, MA: Birkhäuser.

Douven, I., Decock, L., Dietz, R., & Égré, P. (2013). Vagueness: A conceptual spaces approach. Journal of Philosophical Logic, 42(1), 137–160. https://doi.org/10.1007/s10992-011-9216-0

Gärdenfors, P. (1988). Semantics, conceptual spaces and the dimensions of music. In V. Rantala, L. Rowell, & E. Tarasti (Eds.), Essays on the philosophy of music (pp. 9–27). Helsinki: Akateeminen kirjakauppa. (Acta Philosophica Fennica, 43).

Gärdenfors, P. (1996). Mental representation, conceptual spaces and metaphors. Synthese, 106(1), 21–47. https://doi.org/10.1007/BF00413612

Gärdenfors, P. (2000). Conceptual spaces: The geometry of thought. Cambridge, MA: MIT Press.

Gärdenfors, P. (2011). Semantics based on conceptual spaces. In M. Banerjee & A. Seth (Eds.), Logic and its applications (pp. 1–11). Berlin, Heidelberg: Springer. (Lecture Notes in Computer Science, 6521). https://doi.org/10.1007/978-3-642-18026-2_1

Gelfand, I. M. (1971). Wykłady z algebry liniowej. (L. Kubiak, Trans.). Warszawa: PWN.

Gordon, A. D. (1999). Classification (2nd ed.). Boca Raton: Chapman & Hall/CRC Press.

Gott, J. R. III, & Alpert, M. (1984). General relativity in (2+1)-dimensional space-time. General Relativity and Gravitation, 16(3), 243–247. https://doi.org/10.1007/BF00762539

Hughston, L. P., & Tod, K. P. (1990). An introduction to general relativity. Cambridge: Cambridge University Press.

Langacker, R. W. (1986). An introduction to cognitive grammar. Cognitive Science, 10(1), 1–40. https://doi.org/10.1207/s15516709cog1001_1

Langacker, R. W. (2008). Cognitive grammar: A basic introduction. Oxford: Oxford University Press.

Lee, J. M. (2009). Manifolds and differential geometry. Providence, Rhode Island: American Mathematical Society.

Okabe, A., Boots, B., Sugihara, K., & Chiu, S. N. (2000). Spatial tessellations — concepts and applications of Voronoi diagrams (2nd ed.). Chichester: John Wiley & Sons. https://doi.org/10.1002/9780470317013

Sachs, R. K., & Wu, H. (1977). General relativity for mathematicians. New York: Springer.

Saussure, F. de. (1916). Cours de linguistique générale. (C. Bally & A. Sechehaye, Eds., with the collaboration of A. Riedlinger). Lausanne: Payot.

Viertl, R., & Hareter, D. (2006). Beschreibung und Analyse unscharfer Information: Statistische Methoden für unscharfe Daten. Wien: Springer.

Viertl, R. (2011). Statistical methods for fuzzy data. Chichester: John Wiley & Sons.

Zadeh, L. A. (1965). Fuzzy sets. Information and Control, 8(3), 338–353. https://doi.org/10.1016/S0019-9958(65)90241-X




Copyright (c) 2017 Roman Urban, Magdalena Grzelińska

License URL: http://creativecommons.org/licenses/by/3.0/pl/